Tensor analysis applied to the equations of contiuum mechanics I

Navier-Stokes ligninger, Euler ligningene og elastisitets ligningene og uttrykk avledet av disse håndteres oftest i Cartesiske koordinater. Det kan likevel være avgjørende å kunne håndtere disse ligningene i andre koordinatsystemer, for eksempel i sylinder-koordinater i tilfellet strømning omkring eller i cylindriske rør, for eksempel strømning rundt akustiske antenner. I dene rapporten presenterer vi formalismen som må til for å uttrykke de nevnte ligningene i generaliserte koordinater. Formalismen omfatter tensoranalyse, som ble utviklet i tidsrommet 1850-1900 av Gregorio Ricci Kurbastro, Tullio Levi-Civita, Sophus Lie og andre. Albert Einstein benyttet tensor analysen som som matematisk fundament for generell relativitetsteori. I denne rapporten vil vi begrense oss til å beskrive de klassiske fluid ligningene i generaliserte koordinater. Tensor-teorien kan virke tung og vanskelig og en kan spørre seg om det er nødvendig å gjennomgå alle disse kompliserte regningene, at det ikke bare er å søke på “webben” eller i en standard formesamling etter nødvendige uttrykk. Vi har lett etter uttrykk som ∇ · (∇(ρT)), her er T er momentum-fluks-tetthets-tensoren. Uttrykket forekommer i Lighthill’s ligning. Vi fant ikke dette uttrykket i sylinderkoordinater og for å nå målet var det nødvendig å følge tensor analysens prosedyrer til punkt og prikke. I analysen av strøning omkring en akustisk antenne så inngår flere tensorer som for eksempel deformasjonsrate tensoren, struktur tensorer og tensorielle uttrykk som forekommer i RANS ligningene. Med data gitt i sylinder koordinater er det naturlig å gjennomføre analysen i sylinder koordinater. Fysikalske komponenter beregnes både for vektor og tensor under den fysiske tolkningen av dataene. Selv om behandlingen av cylinder koordianter i denne rapporten kun har begrenset anvendelse, er konseptene i tensor analyse av fundamental betydning i praktisk talt alle anvendelser av kontinumsmekanikk.