Beregning av aktivitet til et nettverk av reaksjoner

Kvantemekaniske systemer beskrives gjerne ved et sett av egentilstander (ofte merket ved deres energier eller frekvenser) og overganger eller henfall mellom disse (karakterisert ved deres overgangsrater). Eksempler på slike systemer kan være atomer, molekyler eller atomkjerner. Overgangsratene kan stort sett beregnes i tidsavhengig perturbasjonsteori ved Fermis gyldne regel. Men selv om man kjenner alle overgangsrater mellom alle kvantetilstander (ved måling eller ved beregning), så krever en nøyaktig modellering av tidsutviklingen til systemet at man tar hensyn til alle forgreininger og sammenføringer i nettverket av mulige henfall fra utgangstilstand til sluttilstand.

Vi modellerer dette nettverket av overganger som et system av sammenkoblete autonome lineære førsteordens differensiallikninger. Dets løsning er formulert i lukket form ved hjelp av matrisefunksjoner. Vi formulerer eksakte og tilnærmete løsninger til slike matrisefunksjoner og implementerer noen numeriske algoritmer der den mest effektive baserer seg på Padé approksimasjonen. Matrisefunksjoner kan anvendes overalt der man er konfrontert med lignende differensiallikningssystemer, som for eksempel ved vibrasjonsanalyse.

Eksemplene vi bruker i denne rapporten stammer fra kjernefysikken der overgangene mellom kvantetilstandene tilsvarer forskjellige typer radioaktivitet og der vi fokuserer nettopp på beregningen av denne aktiviteten. I denne konteksten diskuterer vi også betingelsen for å kunne generalisere vår matematisk modell fra et nettverk med henfall (unære reaksjoner) til et nettverk med binære reaksjoner.

Lignende eksempler kunne også formuleres for overganger mellom elektroniske tilstander i atomer eller molekyler der radiative overganger tilsvarer utsendelse av lys eller generelt elektromagnetisk stråling med forskjellige bølgelengder. Slike eksempler kunne inkludere atomer og molekyler som er involvert i produksjon av laserstråling, men også konkurrerende prosesser.